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n An

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O single recebeu coment�rios como um dos melhores na "MusicFit", o que tamb�m lhe rendeu uma indica��o no Grammy Awards?? de 2009.

"I Will The All Star Tour" recebeu elogios ao tamb�m receber indica��es nas cerim�nias de premia��o.

Em 17 de julho,?? o videoclipe da can��o foi lan�ado em v�deo curto.

Foi gravado na parte de tr�s da estrada de Atlanta e possui?? o mesmo tema principal "I Will The

All Star" e um v�deo de acompanhamento.

Distribui��o hipergeom�trica Fun��o distribui��o de probabilidade para alguns valores de N {\displaystyle N} K {\displaystyle K} n {\displaystyle n} Fun��o?? distribui��o acumulada para alguns valores de N {\displaystyle N} K {\displaystyle K} n {\displaystyle n} Par�metros N ? { 0?? , 1 , 2 , .

.

.

} K ? { 0 , 1 , 2 , .

.

.

, N }?? n ? { 0 , 1 , 2 , .

.

.

, N } {\displaystyle {\begin{aligned}N&\in \left\{0,1,2,\dots \right\}\\K&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\

&\in \left\{0,1,2,\dots?? ,N\right\}\end{aligned}}\,} Suporte k ? { max ( 0 , n + K - N ) , .

.

.

, min (?? n , K ) } {\displaystyle \scriptstyle {k\,\in \,\left\{\max {(0,\,n+K-N)},\,\dots ,\,\min {(n,\,K)}\right\}}\,} f.d.p.

( K k ) ( N - K?? n - k ) ( N n ) {\displaystyle {{{K \choose k}{{N-K} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}} f.d.a.

1 -?? ( n k + 1 ) ( N - n K - k - 1 ) ( N K )?? 3 F 2 [ 1 , k + 1 - K , k + 1 - n k + 2?? , N + k + 2 - K - n ; 1 ] , {\displaystyle 1-{{{n \choose {k+1}}{{N-n} \choose {K-k-1}}}?? \over {N \choose K}}\,_{3}F_{2}\!\!\left[{\begin{array}{c}1,\ k+1-K,\ k+1-n\\k+2,\ N+k+2-K-n\end{array}};1\right],} p F q {\displaystyle \,_{p}F_{q}} M�dia n K N {\displaystyle n{K \over N}}?? Moda ? ( n + 1 ) ( K + 1 ) N + 2 ? {\displaystyle \left\lfloor {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rfloor?? } Vari�ncia n K N ( N - K ) N N - n N - 1 {\displaystyle n{K \over?? N}{(N-K) \over N}{N-n \over N-1}} Obliquidade ( N - 2 K ) ( N - 1 ) 1 2 (?? N - 2 n ) [ n K ( N - K ) ( N - n ) ] 1?? 2 ( N - 2 ) {\displaystyle {\frac {(N-2K)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nK(N-K)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}} Curtose 1 n K ( N - K )?? ( N - n ) ( N - 2 ) ( N - 3 ) � {\displaystyle \left.

{\frac {1}{nK(N-K)(N-n)(N-2)(N-3)}}\cdot \right.

}?? [ ( N - 1 ) N 2 ( N ( N + 1 ) - 6 K ( N?? - K ) - 6 n ( N - n ) ) + {\displaystyle {\Big [}(N-1)N^{2}{\Big (}N(N+1)-6K(N-K)-6n(N-n){\Big )}+} 6 n?? K ( N - K ) ( N - n ) ( 5 N - 6 ) ] {\displaystyle 6nK(N-K)(N-n)(5N-6){\Big?? ]}} Fun��o Geradora de Momentos ( N - K n ) 2 F 1 ( - n , - K?? ; N - K - n + 1 ; e t ) ( N n ) {\displaystyle {\frac {{N-K \choose?? n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-K;N-K-n+1;e^{t})}}{N \choose n}}\,\!} Fun��o Caracter�stica ( N - K n ) 2 F 1 ( - n , -?? K ; N - K - n + 1 ; e i t ) ( N n ) {\displaystyle {\frac?? {{N-K \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-K;N-K-n+1;e^{it})}}{N \choose n}}}

Em teoria das probabilidades e estat�stica, a distribui��o hipergeom�trica � uma distribui��o de probabilidade discreta?? que descreve a probabilidade de k {\displaystyle k} sucessos em n {\displaystyle n} retiradas, sem reposi��o, de uma popula��o de?? tamanho N {\displaystyle N} que cont�m exatamente K {\displaystyle K} sucessos, sendo cada retirada um sucesso ou um fracasso.

Em contraste,?? a distribui��o binomial descreve a probabilidade de k {\displaystyle k} sucessos em n {\displaystyle n} retiradas com reposi��o.

Em estat�stica, o?? teste hipergeom�trico usa a distribui��o hipergeom�trica para calcular a signific�ncia estat�stica de obten��o de um n�mero espec�fico k {\displaystyle k}?? de sucessos (a partir de um total de n {\displaystyle n} retiradas) a partir da popula��o acima mencionada.

O teste �?? frequentemente usado para identificar quais subpopula��es est�o super-representadas ou sub-representadas em um amostra.

Por exemplo, um grupo de marketing poderia usar?? o teste para compreender bonus betway base de consumidores ao testar um conjunto de consumidores desconhecidos para avaliar a super-representa��o de?? v�rios subgrupos demogr�ficos (como mulheres ou pessoas abaixo de 30).

As seguintes condi��es caracterizam a distribui��o hipergeom�trica:

O resultado de cada retirada?? (os elementos da popula��o que comp�em a amostra) pode ser classificado em uma de duas categorias mutuamente excludentes (por exemplo,?? aprova��o ou reprova��o, empregado ou desempregado);

A probabilidade de um sucesso muda a cada retirada, conforme cada retirada diminui a popula��o?? (amostragem sem reposi��o a partir de uma popula��o finita).

Uma vari�vel aleat�ria X {\displaystyle X} segue a distribui��o hipergeom�trica se a?? fun��o massa de probabilidade for dada por[1]

P ( X = k ) = ( K k ) ( N -?? K n - k ) ( N n ) , {\displaystyle P(X=k)={\frac {{\binom {K}{k}}{\binom {N-K}{n-k}}}{\binom {N}{n}}},}em queN {\displaystyle N}K {\displaystyle?? K}n {\displaystyle n}k {\displaystyle k}

( a b ) {\displaystyle \textstyle {a \choose b}} coeficiente binomial.

A fun��o massa de probabilidade �?? positiva quando max ( 0 , n + K - N ) = k = min ( K , n?? ) {\displaystyle \max(0,n+K-N)\leq k\leq \min(K,n)} .

A fun��o massa de probabilidade satisfaz a rela��o de recorr�ncia

( k + 1 ) (?? N - K - ( n - k - 1 ) ) P ( X = k + 1 )?? = ( K - k ) ( n - k ) P ( X = k ) {\displaystyle (k+1)(N-K-(n-k-1))P(X=k+1)=(K-k)(n-k)P(X=k)}com

P (?? X = 0 ) = ( N - K n ) ( N n ) {\displaystyle P(X=0)={\frac {\binom {N-K}{n}}{\binom {N}{n}}}}

Como?? � de se esperar, a soma das probabilidades resulta em 1:

? 0 = k = n ( K k )?? ( N - K n - k ) ( N n ) = 1 {\displaystyle \sum _{0\leq k\leq n}{{K \choose?? k}{N-K \choose n-k} \over {N \choose n}}=1}

Esta � essencialmente a identidade de Vandermonde da combinat�ria.

A seguinte identidade tamb�m se aplica:

(?? K k ) ( N - K n - k ) ( N n ) = ( n k )?? ( N - n K - k ) ( N K ) .

{\displaystyle {{{K \choose k}{{N-K} \choose {n-k}}} \over {N?? \choose n}}={{{n \choose k}{{N-n} \choose {K-k}}} \over {N \choose K}}.}

Isto segue da simetria do problema, mas isto tamb�m pode ser?? mostrado expressando os coeficientes binomiais em termos de fatoriais e rearranjando os �ltimos.[2]

Aplica��o e exemplo [ editar | editar c�digo-fonte?? ]

A aplica��o cl�ssica da distribui��o hipergeom�trica � a amostragem sem reposi��o.

Suponha uma urna com dois tipos de bolas, vermelhas e?? verdes.

Defina a retirada de uma bola verde como um sucesso e a retirada de uma bola vermelha como um fracasso?? (o que � an�logo � distribui��o binomial).

Se a vari�vel N {\displaystyle N} descrever o n�mero de todas as bolas na?? urna e K {\displaystyle K} descrever o n�mero de bolas verdes, ent�o N - K {\displaystyle N-K} corresponde ao n�mero?? de bolas vermelhas.

Neste exemplo, X {\displaystyle X} � a vari�vel aleat�ria cujo valor observado � k {\displaystyle k} , o?? n�mero de bolas verdes retiradas no experimento.

Esta situa��o � ilustrada pela seguinte tabela de conting�ncia:

Retiradas N�o retiradas Total Bolas verdes?? k {\displaystyle k} K - k {\displaystyle K-k} K {\displaystyle K} Bolas vermelhas n - k {\displaystyle n-k} N +?? k - n - K {\displaystyle N+k-n-K} N - K {\displaystyle N-K} Total n {\displaystyle n} N - n {\displaystyle?? N-n} N {\displaystyle N}

Agora, assuma, por exemplo, que h� 5 bolas verdes e 45 bolas vermelhas na urna.

De p� ao?? lado da urna, voc� fecha seus olhos e retira 10 bolas sem reposi��o.

Qual � a probabilidade de que exatamente 4?? das 10 sejam verdes? Note que, apesar de estarmos observando sucessos e fracassos, os dados n�o s�o precisamente modelados pela?? distribui��o binomial, porque a probabilidade de sucesso em cada triagem n�o � a mesma, j� que o tamanho da popula��o?? remanescente muda conforme removemos cada bola.

O problema est� resumido pela seguinte tabela de conting�ncia:

Retiradas N�o retiradas Total Bolas verdes k?? = 4 {\displaystyle k=4} K - k = 1 {\displaystyle K-k=1} K = 5 {\displaystyle K=5} Bolas vermelhas n -?? k = 6 {\displaystyle n-k=6} N + k - n - K = 39 {\displaystyle N+k-n-K=39} N - K =?? 45 {\displaystyle N-K=45} Total n = 10 {\displaystyle n=10} N - n = 40 {\displaystyle N-n=40} N = 50 {\displaystyle?? N=50}

A probabilidade de retirar exatamente k {\displaystyle k} bolas verdes pode ser calculada pela f�rmula

P ( X = k )?? = f ( k ; N , K , n ) = ( K k ) ( N - K?? n - k ) ( N n ) .

{\displaystyle P(X=k)=f(k;N,K,n)={{{K \choose k}{{N-K} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}.}

Assim, neste exemplo,?? calcula-se

P ( X = 4 ) = f ( 4 ; 50 , 5 , 10 ) = ( 5?? 4 ) ( 45 6 ) ( 50 10 ) = 5 � 8145060 10272278170 = 0.003964583 .

.

.

.

{\displaystyle P(X=4)=f(4;50,5,10)={{{5?? \choose 4}{{45} \choose {6}}} \over {50 \choose 10}}={5\cdot 8145060 \over 10272278170}=0.003964583\dots .}

Intuitivamente, � ainda mais improv�vel que todas as cinco?? bolas sejam verdes.

P ( X = 5 ) = f ( 5 ; 50 , 5 , 10 ) =?? ( 5 5 ) ( 45 5 ) ( 50 10 ) = 1 � 1221759 10272278170 = 0.0001189375 .

.

.

?? .

{\displaystyle P(X=5)=f(5;50,5,10)={{{5 \choose 5}{{45} \choose {5}}} \over {50 \choose 10}}={1\cdot 1221759 \over 10272278170}=0.0001189375\dots .}

Conforme esperado, a probabilidade de retirar cinco?? bolas verdes � aproximadamente 35 vezes menor do que a probabilidade de retirar 4 bolas verdes.

Outro exemplo se refere a?? um jogo de loteria que consiste em selecionar seis n�meros de um conjunto de cem, que v�o de de 00?? a 99, com uma bola para cada n�mero e sem reposi��o.

Em um cart�o de aposta, o jogador pode escolher de?? 6 a 12 n�meros.

Qual � a probabilidade de que o jogador acerte a quina, ou seja, cinco n�meros, ao marcar?? 10 n�meros no volante? Temos

N {\displaystyle N} N = 100 {\displaystyle N=100}

n {\displaystyle n} n = 6 {\displaystyle n=6}

K {\displaystyle?? K} K = 10 {\displaystyle K=10}

X {\displaystyle X} X = 5 {\displaystyle X=5}

P ( X = 5 | 100 ,?? 10 , 6 ) = ( 10 5 ) ( 100 - 10 6 - 5 ) ( 100 6?? ) = 252 * 90 1.192.052.400 = 0 , 000019.

{\displaystyle P(X=5|100,10,6)={{{10 \choose 5}{{100-10} \choose {6-5}}} \over {100 \choose 6}}={{{252}*{90}} \over?? {1.192.052.400}}=0,000019.}

A probabilidade de que o jogador acerte a quina � de aproximadamente 0,000019%.

O mesmo problema pode ser resolvido de outra?? forma.

Pode-se pensar que a escolha aleat�ria � feita pelo jogador, mas que os n�meros "premiados" j� est�o definidos a priori,?? sem que o jogador saiba.

Logo, existem dois tipos de n�meros, os "premiados" e os "n�o premiados".

O jogador escolhe aleatoriamente (ou?? n�o, desde que seu crit�rio de escolha seja independente dos n�meros "premiados") os 10 n�meros do seu jogo.Assim:

N {\displaystyle N}?? N = 100 {\displaystyle N=100}

n {\displaystyle n} n = 10 {\displaystyle n=10}

K {\displaystyle K} K = 6 {\displaystyle K=6}

X {\displaystyle?? X} X = 5 {\displaystyle X=5}

P ( X = 5 | 100 , 6 , 10 ) = ( 6?? 5 ) ( 100 - 6 10 - 5 ) ( 100 10 ) = 6 * 54.891.018 17.310.309.456.440 =?? 0 , 000019.

{\displaystyle P(X=5|100,6,10)={{{6 \choose 5}{{100-6} \choose {10-5}}} \over {100 \choose 10}}={{{6}*{54.891.018}} \over {17.310.309.456.440}}=0,000019.}

O resultado � o mesmo.

Aplica��o no Texas?? hold 'em [ editar | editar c�digo-fonte ]

No p�quer Texas hold 'em, jogadores fazer a melhor m�o que podem combinando?? duas cartas em suas m�os com as cinco cartas (cartas comunit�rias) eventualmente distribu�das sobre a mesa.

O baralho tem 52 cartas,?? 13 de cada naipe.

Para este exemplo, assuma que um jogador tem duas cartas de paus na m�o e h� tr�s?? cartas na mesa, duas das quais tamb�m s�o de paus.

O jogador gostaria de saber a probabilidade de que uma das?? duas pr�ximas cartas a serem mostradas seja uma carta de paus para completar o flush.

Note que as chances calculadas neste?? exemplo assumem que nenhuma informa��o � conhecida sobre as cartas nas m�os dos outros jogadores.

Entretanto, jogadores de p�quer experientes podem?? levar em conta como outros jogadores fazem suas apostas ao considerar as probabilidades para cada cen�rio.

Estritamente falando, a abordagem ao?? calcular probabilidades de sucesso aqui descrita � precisa em um cen�rio em que h� apenas um jogador na mesa.

Em uma?? partida com v�rios jogadores, estas probabilidades podem ser ajustadas de alguma forma com base nas apostas dos oponentes.

H� quatro cartas?? de paus � mostra, ent�o h� nove cartas de paus ocultas.

H� cinco cartas � mostra (duas na m�o e tr�s?? na mesa, ent�o h� 52 - 5 = 47 {\displaystyle 52-5=47} ainda ocultas.

A probabilidade de que uma das duas pr�ximas?? cartas a serem mostradas seja uma carta de paus pode ser calculada usando a hipergeom�trica k = 1 {\displaystyle k=1}?? , n = 2 {\displaystyle n=2} , K = 9 {\displaystyle K=9} e N = 47 {\displaystyle N=47} , sendo?? cerca de 31,6%.

A probabilidade de que as duas pr�ximas cartas a serem mostradas sejam duas cartas de paus pode ser?? calculada usando a hipergeom�trica k = 2 {\displaystyle k=2} , n = 2 {\displaystyle n=2} , K = 9 {\displaystyle?? K=9} e N = 47 {\displaystyle N=47} , sendo cerca de 3,3%.

A probabilidade de que nenhuma das duas pr�ximas cartas?? a serem mostradas seja uma carta de paus pode ser calculada usando a hipergeom�trica k = 0 {\displaystyle k=0} ,?? n = 2 {\displaystyle n=2} , K = 9 {\displaystyle K=9} e N = 47 {\displaystyle N=47} , sendo cerca?? de 65,0%.

Invertendo os atributos das bolas verdes e vermelhas, temos:

f ( k ; N , K , n ) =?? f ( n - k ; N , N - K , n ) .

{\displaystyle f(k;N,K,n)=f(n-k;N,N-K,n).}

Invertendo os atributos das bolas?? retiradas e n�o retiradas, temos:

f ( k ; N , K , n ) = f ( K - k?? ; N , K , N - n ) .

{\displaystyle f(k;N,K,n)=f(K-k;N,K,N-n).}

Invertendo os atributos das bolas verdes e retiradas, temos:

f (?? k ; N , K , n ) = f ( k ; N , n , K ) .

{\displaystyle?? f(k;N,K,n)=f(k;N,n,K).}

O bi�logo e estat�stico brit�nico Ronald Fisher

O teste hipergeom�trico usa a distribui��o hipergeom�trica para medir a signific�ncia estat�stica da obten��o?? de uma amostra que consiste de um n�mero espec�fico de k {\displaystyle k} sucessos (dentre um total n {\displaystyle n}?? de retiradas) a partir de uma popula��o de tamanho N {\displaystyle N} contendo K {\displaystyle K} sucessos.

Em um teste para?? a super-representa��o de sucessos na amostra, o valor-p hipergeom�trico � calculado como a probabilidade de obter aleatoriamente k {\displaystyle k}?? ou mais sucessos a partir da popula��o em um total n {\displaystyle n} de retiradas.

Em um teste para sub-representa��o, o?? valor-p � a probabilidade de obter aleatoriamente k {\displaystyle k} ou menos sucessos.

Rela��o com o teste exato de Fisher [?? editar | editar c�digo-fonte ]

O teste baseado na distribui��o hipergeom�trica, o teste hipergeom�trico, � id�ntico � vers�o unicaudal correspondente do?? teste exato de Fisher.

[3] Reciprocamente, o valor-p de um teste exato de Fisher bicaudal pode ser calculada como a soma?? de dois testes hipergeom�tricos apropriados.[4]

Ordem das retiradas [ editar | editar c�digo-fonte ]

A probabilidade de retirar qualquer sequ�ncia de bolas?? brancas e pretas, a distribui��o hipergeom�trica, depende apenas do n�mero de bolas brancas e pretas, n�o da ordem em que?? elas aparecem, isto �, � uma distribui��o intercambi�vel.

Como resultado, a probabilidade de retirar uma bola branca na i {\displaystyle i}?? -�sima retirada[5]P ( W i ) = K N .

{\displaystyle P(W_{i})={\frac {K}{N}}.}

Considere X ~ {\displaystyle X\sim } Hipergeom�trica ( K?? , N , n ) {\displaystyle (K,N,n)} e p = K / N {\displaystyle p=K/N} .

Se n = 1 {\displaystyle?? n=1} X {\displaystyle X} distribui��o de Bernoulli com par�metro p {\displaystyle p}

distribui��o de Bernoulli com par�metro Considere que Y {\displaystyle?? Y} n {\displaystyle n} p {\displaystyle p} N {\displaystyle N} K {\displaystyle K} n {\displaystyle n} p {\displaystyle p} X?? {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} P ( X = k ) � P ( Y = k ) {\displaystyle P(X\leq?? k)\approx P(Y\leq k)}

Se n {\displaystyle n} N {\displaystyle N} K {\displaystyle K} n {\displaystyle n} p {\displaystyle p}

P ( X?? = k ) � F ( k - n p n p ( 1 - p ) ) , {\displaystyle?? P(X\leq k)\approx \Phi \left({\frac {k-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right),}

em que F {\displaystyle \Phi }

Se as probabilidades de retirar uma bola branca ou preta?? n�o forem iguais (por exemplo, porque bolas brancas s�o maiores ou mais f�ceis de pegar do que as bolas pretas),?? ent�o, X {\displaystyle X}

A distribui��o beta-binomial � a priori conjugada para a distribui��o hipergeom�trica.

A tabela abaixo descreve quatro distribui��o relacionadas?? com o n�mero de sucessos em uma sequ�ncia de retiradas:

Com reposi��es Sem reposi��es Dado n�mero de retiradas Distribui��o binomial Distribui��o?? hipergeom�trica Dado n�mero de fracassos Distribui��o binomial negativa Distribui��o hipergeom�trica negativa

Limites de cauda [ editar | editar c�digo-fonte ]

Considere X?? ~ {\displaystyle X\sim } Hipergeom�trica ( K , N , n ) {\displaystyle (K,N,n)} e p = K / N?? {\displaystyle p=K/N} .

Ent�o, podemos derivar os seguintes limites:[6]

Pr [ X = ( p - t ) n ] = e?? - n D ( p - t | | p ) = e ( - 2 t 2 n )?? Pr [ X = ( p + t ) n ] = e - n D ( p + t?? | | p ) = e ( - 2 t 2 n ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Pr[X\leq (p-t)n]&\leq e^{-n{\text{D}}(p-t||p)}\leq e^{(-2t^{2}n)}\\\Pr[X\geq (p+t)n]&\leq e^{-n{\text{D}}(p+t||p)}\leq?? e^{(-2t^{2}n)}\\\end{aligned}}\!}em que

D ( a | | b ) = a log ? a b + ( 1 - a )?? log ? 1 - a 1 - b {\displaystyle D(a||b)=a\log {\frac {a}{b}}+(1-a)\log {\frac {1-a}{1-b}}}

� a diverg�ncia de Kullback-Leibler e D?? ( a , b ) = 2 ( a - b ) 2 {\displaystyle D(a,b)\geq 2(a-b)^{2}} � usado.[7]

Se n {\displaystyle?? n} for maior que N / 2 {\displaystyle N/2} , pode ser �til aplicar simetria para "inverter" os limites, o?? que resulta no seguinte:[7][8]

Pr [ X = ( p - t ) n ] = e - ( N -?? n ) D ( p + t n N - n | | p ) = e - 2 t?? 2 n n N - n , Pr [ X = ( p + t ) n ] = e?? - ( N - n ) D ( p - t n N - n | | p ) =?? e - 2 t 2 n n N - n .

{\displaystyle {\begin{aligned}\Pr[X\leq (p-t)n]&\leq e^{-(N-n){\text{D}}(p+{\tfrac {tn}{N-n}}||p)}\leq e^{-2t^{2}n{\tfrac {n}{N-n}}},\\\\\Pr[X\geq (p+t)n]&\leq e^{-(N-n){\text{D}}(p-{\tfrac {tn}{N-n}}||p)}\leq?? e^{-2t^{2}n{\tfrac {n}{N-n}}}.\\\end{aligned}}\!}

Distribui��o hipergeom�trica multivariada [ editar | editar c�digo-fonte ]

Distribui��o hipergeom�trica multivariada Par�metros c ? N = { 0 ,?? 1 , .

.

.

} {\displaystyle c\in \mathbb {N} =\lbrace 0,1,\ldots \rbrace }

( K 1 , .

.

.

, K c )?? ? N c {\displaystyle (K_{1},\ldots ,K_{c})\in \mathbb {N} ^{c}}

N = ? i = 1 c K i {\displaystyle N=\sum _{i=1}^{c}K_{i}}

n?? ? { 0 , .

.

.

, N } {\displaystyle n\in \lbrace 0,\ldots ,N\rbrace } Suporte { k ? Z 0?? + c : ? i k i = K i , ? i = 1 c k i = n?? } {\displaystyle \left\{\mathbf {k} \in \mathbb {Z} _{0+}^{c}\,:\,\forall i\ k_{i}\leq K_{i},\sum _{i=1}^{c}k_{i}=n\right\}} f.d.p.

? i = 1 c ( K i?? k i ) ( N n ) {\displaystyle {\frac {\prod _{i=1}^{c}{\binom {K_{i}}{k_{i}}}}{\binom {N}{n}}}} M�dia E ( X i ) =?? n K i N {\displaystyle E(X_{i})={\frac {nK_{i}}{N}}} Vari�ncia Var ( X i ) = K i N ( 1 -?? K i N ) n N - n N - 1 {\displaystyle {\text{Var}}(X_{i})={\frac {K_{i}}{N}}\left(1-{\frac {K_{i}}{N}}\right)n{\frac {N-n}{N-1}}}

O modelo de uma urna?? com bolas pretas e brancas pode ser estendida ao caso em que h� mais de duas cores de bolas.

Se houver?? K i {\displaystyle K_{i}} bolas de cor i {\displaystyle i} na urna e forem retiradas n {\displaystyle n} bolas aleatoriamente,?? sem reposi��o, ent�o, o n�mero de bolas de cada cor na amostra ( k 1 , k 2 , ...

,?? k c ) {\displaystyle (k_{1},k_{2},...

,k_{c})} tem distribui��o hipergeom�trica multivariada.

Esta tem uma rela��o com a distribui��o multinomial igual � que a?? distribui��o hipergeom�trica tem com a distribui��o binomial - a distribui��o multinomial � a distribui��o "com reposi��o" e a a distribui��o?? hipergeom�trica multivariada � a distribui��o "sem reposi��o".

As propriedades desta distribui��o s�o dadas na tabela adjacente, em que c {\displaystyle c}?? � o n�mero de cores diferentes e N = ? i = 1 c K i {\displaystyle N=\sum _{i=1}^{c}K_{i}} �?? o n�mero total de bolas.

Suponha que uma urna cont�m cinco bolas pretas, dez bolas brancas e quinze bolas vermelhas.

S�o selecionadas?? seis bolas sem reposi��o.

A probabilidade de que sejam retiradas duas bolas de cada cor �

P ( 2 pretas, 2 brancas,?? 2 vermelhas ) = ( 5 2 ) ( 10 2 ) ( 15 2 ) ( 30 6 )?? = 0.079575596816976.

{\displaystyle P({\text{2 pretas, 2 brancas, 2 vermelhas}})={{{5 \choose 2}{10 \choose 2}{15 \choose 2}} \over {30 \choose 6}}=0.079575596816976.}